Entscheidungs-Ereignisbäume

zur Analyse komplexer Entscheidungssituationen

Drei Spieler im Kasino: Ein Spielkasino bietet jedem Besucher die einmalige Chance, für einen Einsatz von 1000 Euro an einem Spiel teilzunehmen. Hat der Spieler seinen Einsatz entrichtet, wird ein Würfel geworfen. Zeigt dieser eine Sechs, erhält der betreffende Spieler seinen Einsatz zurück und 6000 Euro oben drauf. Andernfalls hat er den Einsatz verloren. Trotz des an und für sich günstigen Angebots machen viele Besucher nicht mit: Sie sind risikoscheu. Das kommt in einer konkaven Nutzenfunktion zum Ausdruck. Ein typischer Besucher, nennen wir ihn H., formuliert für sich die Sache so: Mache ich nicht mit, "gewinne" ich 1000 Euro. Mache ich mit, kann ich bestenfalls 7000 Euro gewinnen. Wenn ich den 7000 Euro einen Nutzen von 100% zumesse, dann hat nach meiner persönlichen Nutzenfunktion der "Gewinn" von 1000 Euro den Nutzen von 20.8%. Der hunderprozentige Nutzen wird nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 realisiert, das entspricht einem zu erwartenden Nutzen von nur 16.7%, wohingegen ich bei Ablehnung des Angebots einen sicheren Nutzen von 20.8% habe. Dennoch kann er das günstige Angebot der Bank nutzen und gleichzeitiger sein Sicherheitsbedürfnis befriedigen. Er tut sich mit seinen Bekannten F. und G. zusammen. Die Bekannten sind ähnlich risikoavers wie H. Sie treffen die Vereinbarung, die eventuelle Gewinne gerecht untereinander aufzuteilen.

Der Entscheidungs-Ereignisbaum: Die Entscheidungssituation lässt sich durch einen Entscheidungs-Ereignisbaum (Decision Event Tree, DET) veranschaulichen (siehe Grafik). Rechtecke entsprechen den Entscheidungsknoten. Teilbäume aus lauter Kreisen sind Ereignisbäume. Für die Entscheidung bedeutsam sind die Bäume mit den Wurzeln "Spielen" und "Nicht spielen". Letzterer besteht nur aus einem Blatt.

Das objektive Risiko von Ereignisbäumen: Jeder Pfad von der Wurzel eines solchen Baumes bis zu seinem Blatt hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, die sich als Produkt der bedingten Wahrscheinlichkeiten (Übergangswahrscheinlichkeiten) aller Übergänge längs des Pfades ergeben. Dies ist die sogenannte Pfadregel. Der obere Pfad läuft von "Spielen" über "F. gewinnt" und "G. gewinnt" zum Blatt "H. gewinnt". Er hat die Wahrscheinlichkeit (1/6)·(1/6)·(1/6) = 0.00463. Mit jedem Zweig ist ein bestimmter objektiver Schaden verbunden. (Da wir hier von Gewinnen reden, haben in der Baumdarstellung diese Werte ein negatives Vorzeichen.) Er steht hinter dem Blatt eines Pfades angeschrieben. Für das Beispiel ist der (negativ genommene) Gewinn eines einzelnen der Mitspieler angegeben. Das objektive Risiko eines Pfades ist gleich dem Produkt aus Pfadwahrscheinlichkeit und objektivem Schaden. Summiert man diese Werte über alle Pfade auf, erhält man das objektive Risiko des Ereignisbaums. Für den Ereignisbaum mit der Wurzel "Spielen" ergibt sich ein objektives Risiko von -1166.7 bzw. einen zu erwartetenden Gewinn von 1166.7. Der Erwartungswert des Gewinns liegt demnach um ca. 16.7% über dem Einsatz. Das ist derselbe Wert, der sich ergibt, wenn jeder für sich spielt. Unter Maßgabe des objektiven Risikos folgt die Entscheidung dem roten Pfeil.

Objektiver Gewinn	subjektiver Nutzen
1000.0	20.8%
2333.3	43.7%
4666.7	75.3%
7000.0	100%

Berücksichtigung der subjektiven Nutzenfunktion: Die Gewinne werden für jeden der Mitspieler über die Nutzenfunktion in den entsprechenden subjektiven Nutzen umgerechnet.

Die objektiven Schäden der Pfadzweige werden nun durch den subjektiven Schaden (gleich negativer subjektiver Nutzen) ersetzt. Ansonsten läuft die Rechnung wie im Falle des objektiven Risikos. Für den Ereignisbaum "Spielen" ergibt sich so der subjektive Nutzen zu 20.9. Das ist geringfügig günstiger als der Wert von 20.8 für die Alternative "Nicht spielen".

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© Timm Grams, 30.08.00