Umweltsimulation mit Tabellenkalkulation |
Fibonaccis Kaninchenaufgabe
Die Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... heißt Fibonacci-Folge. Sie löst die folgende "Kaninchenaufgabe" des Leonardo Pisano (genannt Fibonacci) aus dem Jahre 1202 (Knuth, 1973, S. 78): Wieviele Kaninchenpaare kann ein Kaninchenpaar im Laufe eines Jahres erzeugen? Angenommen wird dabei, dass jedes Kaninchenpaar nach jedem Monat ein Paar Nachkommen hat. Die Kaninchenpaare werden nach einem Monat fruchtbar und sterben nicht. Wir haben es hier mit einem frühen Beispiel für Populationsdynamik zu tun.
Wir wollen die Erzeugung dieser Folge als ein einfaches Simulationsexperiment ansehen und daran die Anwendung des Werkzeugs Tabellenkalkulation studieren. Aber vorab wollen wir eine Prognose - ganz im Sinne der negativen Methode - wagen. Wir fragen uns, wie groß ein ebener Kaninchenstall wohl sein muss, wenn er alle Kaninchen aufnehmen soll, die am Ende von drei Jahren existieren. Reicht ein Fußballfeld aus? Bitte notieren Sie - ohne viel herumzurechnen - Ihre Einschätzung.
Und nun zur Simulation: Wir legen ein Arbeitsblatt an - beispielsweise mit dem Programm Excel. Ein Arbeitsblatt ist eine zweidimensionale Matrix aus Zellen, die eindeutig mit einer Buchstaben-Zahlenkombination adressierbar sind: C5 ist die Adresse der Zelle in der Spalte C (das ist die dritte Spalte) und in der 5. Zeile.
Einträge in diese Zellen sind Texte, Werte (Zahlen) oder Formeln. Texte und Zahlen werden im Arbeitsblatt direkt dargestellt. Formeln hingegen werden im Hintergrund gehalten; die Formel einer Zelle wird in einer gesonderten Zeile nur dann sichtbar, wenn die Zelle mit dem Zeiger (auch: Zellzeiger, Cursor) ausgewählt ist. Man kann auch die Ansicht Formeln wählen, dann erscheinen in den Zellen anstelle der Zahlenwerte die Formeln (Dazu wählt man im Excel-Menü Extras/Optionen/Ansicht und setzt dort die Auswahl Formeln).
Formeln werden von Texten durch das erste Zeichen unterschieden. In Excel beginnen die Formeln mit dem Gleichheitszeichen.
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A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
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1 |
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2 |
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3 |
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Aufbau des Arbeitsblattes (markiert ist die Zelle C5)
Zur Simulation der Kaninchenaufgabe schreiben wir in die Zellen A1 und A2 jeweils die Zahl 1, sie steht für das erste Kaninchenpaar, das nach einem Monat fruchtbar wird und deshalb im zweiten Monat noch keine Nachkommen haben kann. In die Zelle A3 kommt die Formel =A1+A2. Dieser Formel besagt, dass die Kaninchenpaare, die bereits vor zwei Monaten da waren, jetzt jeweils ein Paar Nachkommen hat, dieses Paar Nachkommen wird gezählt. Dazu kommen alle die Kaninchen, die bereits im Vormonat da waren.
Die Zelleneinträge können mit Kopier- und Verschiebeoperationen in andere Zellen transportiert werden. Wir kopieren den Inhalt der Zelle A3 in die darunterliegenden Zellen A4, A5, ..., A100. In A4 steht nun nicht dieselbe Formel wie in A3, sondern dort finden wir die Formel =A2+A3. Der Rechner hat uns also die Arbeit abgenommen, die Formel an die neue Umgebung anzupassen. Analog in den Zellen weiter untern: In den Formeln sind die Bezüge auf die Zeilenadressen mit verschoben worden. In den Zellen A1 bis A100 werden nun die ersten hundert Zahlen der Fibonacci-Folge sichtbar.
Nun sehen wir uns die Programmierung des Arbeitsblattes noch etwas genauer an: Wenn sich die Adressbezüge entsprechend einer Verschiebung ändern, spricht man von relativer Adressierung. Ist eine Änderung der Adressbezüge beim Kopieren oder Verschieben nicht erwünscht, muss der entsprechende Adressbestandteil (Spalten- oder Zeilenadresse) durch Vorstellen eines $-Zeichens absolut gemacht werden. Wird im obigen Arbeitsblatt zur Erzeugung von Fibonaccizahlen in die Zelle A3 die Formel =A$1+A$2 geschrieben und der Inhalt dann in die darunterliegenden Zellen kopiert, erscheint in allen Zellen ab A3 stets derselbe Wert, nämlich 2. Das ist die Summe der Inhalte der ersten beiden Zellen.
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A |
B |
C |
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1 |
1 |
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2 |
1 |
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3 |
=A1+A2 |
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4 |
=A2+A3 |
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5 |
=A3+A4 |
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6 |
=A4+A5 |
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Arbeitsblatt zur Erzeugung der Fibonacci-Zahlen:
Die Formeln im Hintergrund
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A |
B |
C |
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1 |
1 |
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2 |
1 |
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3 |
2 |
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4 |
3 |
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5 |
5 |
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6 |
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Arbeitsblatt zur Erzeugung der Fibonacci-Zahlen:
Die sichtbaren Werte
Über die Berechnungsreihenfolge der Formeln braucht sich der Anwender heutiger Tabellenkalkulationsprogramme keine Gedanken mehr zu machen. Wird irgend eine Zelle mit einem neuen Wert oder einer neuen Formel versehen, erfolgt im allgemeinen eine Neuberechnung des Arbeitsblattes. Dabei nimmt sich das Tabellenkalkulationsprogramm die Formeln in einer Reihenfolge vor derart, dass bei jeder Auswertung grundsätzlich nur auf bereits aktualisierte Werte zurückgegriffen wird (topologische Sortierung der Zellen). Ausnahme von dieser Regel bilden die sogenannten zirkulären Verweise, die wir aber vermeiden wollen.
Beurteilung des Simulationswerkzeugs Tabellenkalkulation
Anwendungsbereich: Die Tabellenkalkulation ist das "Taschenmesser" unter den Simulationswerkzeugen. Auf praktisch jedem Rechner ist ein Tabellenkalkulationsprogramm verfügbar; Tabellenkalkulationsprogramme sind leicht zu bedienen; Simulationsaufgaben lassen sich ohne Umschweife und unnötigen Ballast lösen, und für die Ergebnispräsentation steht die eingebaute - meist sehr komfortable - Grafik zur Verfügung.
Man wird die Tabellenkalkulation für den ersten Einstieg in eine Simulationsproblematik nutzen und auch zur Demonstration von Simulationsmethoden in der Ausbildung. Auf diesen Gebieten ist die Tabellenkalkulation wegen ihrer Einfachheit und Transparenz nahezu unschlagbar.
Systeme geringer Ordnung, beispielsweise Ökosysteme mit einer, zwei oder drei Populationen, lassen sich ohne weiteres bewältigen. Damit erfasst der Anwendungsbereich beispielsweise sämtliche Systeme, die im Buch von Bossel (1992) untersucht werden.
Lassen sich die Beziehungen zwischen den Zustandsgrößen des Systems nach einheitlichen Regeln formulieren, dann kann man auch noch umfangreichere Systeme mit der Tabellenkalkulation angehen. Die Eingabe lässt sich dann durch geschicktes Jonglieren mit relativer und absoluter Adressierung auf ein Mindestmaß reduzieren. Es entstehen dabei zwar umfangreiche aber gleichförmige Arbeitsblätter. Ein Arbeitsblatt gilt als gleichförmig, wenn seine Zellinhalte im Wesentlichen durch Kopieroperationen auseinander hervorgehen (Hayes, 1984).
Programmiertechnik: Bereits das obige Arbeitsblatt zur Fibonacci-Zahlenfolge zeigt:
Dass die Arbeitsblätter schlecht lesbar sind, liegt zum einen an der Adressierungsmethode: Beispielsweise steht "$C$5" anstelle eines mnemotechnisch günstig gewählten Parameter- oder Variablennamens. Hinzu kommt, dass die Formeln im Hintergrund gehalten werden und der Algorithmus nicht als fortlaufender Text wie bei einer höheren Programmiersprache erscheint. Der zugrunde liegende Algorithmus lässt sich im fertigen Arbeitsblatt nur noch schwer entdecken.
Modularität im Sinne der höheren Programmiersprachen oder der allgemeinen Simulationssysteme gibt es nicht. Strukturänderungen verlangen normalerweise eine komplette Überarbeitung des Arbeitsblattes. Das bestätigt erneut, dass die Tabellenkalkulation für die Simulation großer Systeme (das sind Systeme mit vielen Zustandsgrößen) nicht geeignet ist.
Die Frage nach der Speichereffizienz ist nicht losgelöst vom gewählten mathematisch-numerischen Verfahren zur Lösung der Systemgleichungen zu beantworten, ebenso die Fragen nach der Verlässlichkeit der Ergebnisse. Aufwand und Rechengenauigkeit werden bei den Experimenten zur Populationsdynamik kurz angesprochen.
Durchführung von Experimenten: Das Experimentieren mit Tabellenkalkulationsprogrammen ist recht einfach. Parameteränderungen werden direkt in den entsprechenden Speicherzellen durchgeführt. Die automatische Neuberechnung des Arbeitsblattes sorgt dafür, dass sofort ein neues Berechnungsexperiment gestartet wird. Allerdings lässt sich das vollautomatische Abspulen von Experimentsequenzen nicht realisieren. Auch Optimierungen sind nur "von Hand" möglich.
Dokumentation: Die Ergebnisdarstellung und die Protokollierung werden durch die Grafikfunktionen der Tabellenkalkulation hervorragend unterstützt.
Schließlich wollen wir die anfangs gestellte Frage beantworten: Nach drei Jahren sind rund 15 Mio. Hasen im Stall (Zelle A36). Selbst wenn jeder Hase nur Anspruch auf eine Fläche von 50 cm mal 25 cm hat, benötigt man wenigstens 350 Fußballfelder, um alle unterzubringen. Haben Sie das erwartet? Wenn nein: Was lässt sich daraus lernen?
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© Timm Grams, 6.7.1999