RECHNEN

So rechnen Zuse-Computer – und die heutigen auch

Zuses frühe Computer Z1, Z3 und Z4 bieten eine Fülle von Anregungen für die Beschäftigung mit Mathematik. Wer wissen will, wie die heutigen Computer rechnen, fängt am besten mit den Zahlendarstellungen und den Rechenvorschriften an, die Konrad Zuse bereits 1941 verwirklicht hat. In den heute gültigen Normen für Computer findet sich nämlich all das wieder. Und man kann einiges über den Arbeitsstil eines großen Kreativen lernen.

Dabei fing es im Grunde damit an, dass der junge Konrad Zuse vom routinemäßigen Rechnen während des Studiums und in den ersten Berufsjahren genervt war: „Ich war jung und wusste weit Besseres mit meiner Zeit anzufangen, als sie mit öden Rechnungen zu verbringen. Also suchte ich nach einer Lösung.“ Das spricht nicht von einer übermäßigen Liebe zur Mathematik. Aber es war der entscheidende Anstoß für seine Erfindertätigkeit.

Konrad Zuse hatte ein Problem erkannt, sich ein Ziel zur Lösung dieses Problems gesteckt, den Zielvorstellungen eine Architektur gegeben und sich dann unbeirrt auf den Weg gemacht. Dabei hat er viele originelle Lösungen für Teilprobleme gefunden. Und was können wir von Zuse über Mathematik lernen?

Erstens ist da sein Aha-Erlebnis, als er den Nutzen der Aussagenlogik für seine Arbeit erkannte. Sie ermöglichte es ihm unter anderem, eine äußerst raffinierte Schaltung für die Addition von Zahlen zu entwickeln.

Zweitens zeigen seine Apparate beispielhaft, wie das Rechnen auch in den heutigen Computern funktioniert: Im Zentrum steht die Addition. Wir sehen, wie sich die Subtraktion, die Multiplikation, die Division und weitere mathematische Operationen auf diese Addition zurückführen lassen und wie die Schaltelemente perfekt ineinandergreifen. Das macht Spaß, fördert das Verständnis der Mathematik und nimmt den heutigen Computern die Aura des Unnahbaren und Geheimnisvollen: Es ist alles gar nicht so schwer zu verstehen.

Drittens zeigt Konrad Zuses Arbeit auch, wie wir Mathematik lernen und lehren sollten: In seiner Jugend hat er mit einem Stabilbaukasten viele technische Konstruktionen gebaut, beispielsweise einen Warenautomat mit Geldrückgabe und das Modell eines Löffelbaggers. Auch seine Gemälde zeugen von kreativer Handarbeit. Er hat die Welt im wahren Sinne des Wortes „begriffen“. Und dieses Begreifen ermöglichte es ihm wohl auch, die große Komplexität seine Apparate gedanklich zu beherrschen.

Animierte technische Darstellungen im Fernseher oder im Internet sind kein Ersatz für das Machen und Ausprobieren. Zuses Beispiel ermahnt uns, den Einsatz von Computern im Unterricht nicht zu übertreiben: Die virtuelle Realität ist kein guter Ersatz für die Begegnung mit der „wirklichen Wirklichkeit“.

Bastelbogen für ein logisches Schaltglied

Zuses Computer arbeiten mit der heute allgemein üblichen binären Zahlendarstellung. Sie kennt nur die Ziffern 0 und 1. Alle Rechenoperationen lassen sich mit Schaltgliedern realisieren, die aus ein oder zwei binären Eingangsgrößen eine binäre Ausgangsgröße errechnen. Die wichtigsten Schaltglieder sind die Negation (aus einer eingangsseitigen 0 wird eine 1 und aus einer 1 eine 0) die Konjunktion (am Ausgang erscheint nur dann eine 1, wenn beide Eingänge gleich 1 sind) die Disjunktion (am Ausgang erscheint nur dann eine 0, wenn beide Eingänge gleich 0 sind). Aus diesen drei Schaltgliedern lassen sich alle möglichen Verknüpfungen aufbauen.

In seiner Z1 hat Konrad Zuse diese Verknüpfungen mit Stahlblechen und Verbindungsstiften realisiert. Die Bleche können zwei definierte Lagen einnehmen, eine entspricht der Zahl 0 und die andere der Zahl 1. Der Übergang von der 0 zu einer 1, bzw. von einer 1 zu einer 0, wird durch Verschiebung des Bleches erledigt. Die Funktionsweise der mechanischen Schaltglieder kann man sich an einem einfachen Papiermodell klar machen.

Auswahl

Treffe eine Auswahl aus den Zahlen 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 so, dass sich in der Summe die Zahl 83 ergibt. Zeige, dass sich alle ganzen Zahlen von null bis 127 so darstellen lassen.

Multiplikation ohne Einmaleins

Das Einmaleins wird für die Multiplikation nicht gebraucht. Wir kommen mit Verdoppeln, Halbieren und Addieren aus. Beim Halbieren lassen wir etwaige Reste einfach weg („ganzzahlige Division durch zwei“). Und so geht diese „Multiplikation ohne Einmaleins“: Wir schreiben die beiden miteinander zu multiplizierenden Zahlen in die Kopfzeilen zweier Spalten einer Tabelle. Die Zahlen der linken Spalte erhalten wir durch fortlaufendes Halbieren, bis wir bei der Eins und damit in der letzten Zeile angelangt sind.

26	57
13	114
6	~~228~~
3	456
1	912

In der rechten Spalte werden die Zahlen fortlaufend verdoppelt, bis wir die letzte Zeile erreicht haben. Für die Zahlen 26 und 57 erhalten wir die nebenstehende Tabelle. Die Zeilen, in denen die linke der Zahlen gerade ist, werden gestrichen. Nun addieren wir die verbleibenden Zahlen der rechten Spalte und erhalten das korrekte Ergebnis der Multiplikation 26´57 = 114 + 456 + 912 = 1482. Das klappt immer, nicht nur bei den gewählten Zahlen. Warum ist das so? Ein Tipp: Wenn wir die schriftliche Division im Zehnersystem in das Dualsystem übertragen, ergibt sich im Wesentlichen das hier verwendete Schema.

Prozentrechnung

„Ich versichere Ihnen, die Einkommen sind um zwanzig Prozent geringer geworden und das Leben um zwanzig Prozent teurer: das macht vierzig Prozent!“ („Kupeestimmen“ aus „Der Mann ohne Eigenschaften“ von Robert Musil, 2. Buch, 1. Kapitel)

Roboter

Tom hat beim Programmieren seiner vier sprachbegabten Roboter vermutlich einen Fehler gemacht und einen oder mehrere so programmiert, dass sie stets lügen. Die fehlerfreien sagen demgegenüber immer die Wahrheit. Tom stellt jedem der Roboter die Frage: „Wie viele von euch lügen?“ Darauf sagt der erste Roboter „einer“, der zweite „zwei“, der dritte „drei“ und der vierte „vier“. Wie viele lügen tatsächlich?

Es werde Licht

Sieben Lampen sind kreisförmig angeordnet. Zu jeder Lampe gehört ein Taster zum Ein- und Ausschalten, wie bei einer Nachttischlampe. Mit einem Tastendruck wird die zugeordnete Lampe umgeschaltet. Dummerweise aber nicht nur die, sondern mit ihr die beiden benachbarten Lampen. Gegeben ist ein Startzustand: Einige der Lampen sind an, einige aus. Die Aufgabe lautet, mit möglichst wenig Tastendrücken alle Lampen anzuschalten. Gesucht ist eine Strategie, die bei jedem beliebigen Anfangszustand den erwünschten Erfolg hat.