Dornröschen und die subjektiven Wahrscheinlichkeiten

Mag sein, dass wir, Donald Trump folgend, lernen müssen, mit subjektiven Wahrheiten und Wahrscheinlichkeiten umzugehen. Es gibt Wahrscheinlichkeitstheoretiker, die meinen, auf die subjektiven Wahrscheinlichkeiten nicht verzichten zu können. Das Dornröschen-Rätsel dient ihnen als Demonstrationsobjekt. Aber das Rätsel lässt sich allein mit Häufigkeitsüberlegungen bewältigen. Diese Lösung ist intersubjektiv vermittelbar, also objektiv. Die Anwendung der subjektiven Wahrscheinlichkeiten führt hingegen zu unnötigen Diskussionen, wie der Artikel von Pöppe (2019) sehr schön klar macht.

Das Problem

Dornröschen ist höchst vergesslich. Heute schon weiß die Schönheit nicht mehr, was gestern war. Der Prinz hat sie gerade wachgeküsst und sagt: „Am vergangenen Sonntag wurde eine Münze geworfen. Sage mir: Wie wahrscheinlich ist es, dass diese Münze Kopf zeigt? Ich sage Dir jetzt nicht, welchen Tag wir haben, aber Du sollst wissen, dass ich Dir diese Frage am Montag stelle und,  falls am Sonntag Zahl oben war, auch am Dienstag.“

Welche Antwort sollte Dornröschen geben?

Lösungsvorschlag mit subjektiven Wahrscheinlichkeiten

Der Subjektivist betrachtet die drei möglichen Ereignisse MK, MZ und DZ. M steht dabei für Montag, D für Dienstag, K für Kopf, Z für Zahl und MK für das Produkt (den Durchschnitt) von M und K, und so weiter. Diesen Ereignissen weist er subjektive Wahrscheinlichkeiten zu. Dabei nutzt er das Indifferenzprinzip: „Wenn keine Gründe dafür bekannt sind, um eines von verschiedenen möglichen Ereignissen zu begünstigen, dann sind die Ereignisse als gleich wahrscheinlich anzusehen.“ (Carnap/Stegmüller, 1959)

Dem Indifferenzprinzip folgend ist leicht einzusehen, dass Kopf und Zahl am Montag gleich wahrscheinlich sind: p(MK)=p(MZ). Der Subjektivist nimmt auch für die Ereignisse MZ und DZ die Gültigkeit des Indifferenzprinzips an und setzt p(MZ)=p(DZ). So schließt er darauf, dass die drei Ereignisse alle dieselbe Wahrscheinlichkeit haben und dass, wegen p(MK)=1/3, Dornröschen diese Antwort geben sollte: „Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist gleich 1/3.“

Zweifel an der Lösung

Die Gleichwertigkeit von  MK und MZ ist leicht einzusehen; sie basiert auf der Annahme einer fairen Münze und diese berechtigt zur Anwendung des Indifferenzprinzips.

Aber hoppla! Wie steht es mit den Ereignissen MZ und DZ? Hier ist mir die Anwendung des Indifferenzprinzips nicht geheuer. Diese Ereignisse finden beide statt, oder keines von beiden. Hier taucht ein neuer Gedanke auf, nämlich dass Dornröschen beim Aufwachen mit einem der beiden Ereignisse zu tun hat und nicht weiß, mit welchem von beiden. Sie kann auf Gleichwahrscheinlichkeit tippen und kommt so zur obigen Lösung.

Aber mir will – anders als beim Münzwurf – dieser Gedankengang nicht ohne Weiteres in den Kopf. Andere Subjektivisten treffen tatsächlich auch andere Annahmen, wie Christoph Pöppe berichtet. Aus deren Sicht könnte sich Dornröschen sagen, dass sich die Chancen, die am Montag fifty-fifty stehen, in der Nacht zu Dienstag nicht ändern können.  Daraus schließt sie, dass sie den Wert ½ nennen sollte – sei nun Montag oder Dienstag.

Objektiv gesehen

Mein Gedankengang folgt der klassischen Wahrscheinlichkeitslehre; er beruht auf dem Häufigkeitsargument und hat den Vorteil, dass sich sein Resultat mittels Experiment nachprüfen lässt.

Um zu einer Statistik zu kommen, denken wir uns den Versuch n mal. An etwa n/2 Montagen trifft die Antwort „Kopf“ zu. Falls diese Antwort nicht stimmt, folgt ein Dienstag, also ein weiterer Tag, für den die Antwort nicht stimmt. Die Zahl der Befragungstage ist gleich n+n/2. An n/2 Tagen liegt Dornröschen mit „Kopf“ richtig, an allen anderen nicht. Das ergibt eine relative Trefferhäufigkeit von 1/3 für Kopf, und genau diese Zahl sollte Dornröschen  nennen.

Das Gedankenexperiment zeigt, dass die einander ausschließenden Ereignisse MK, MZ und DZ bei mehrmaliger Wiederholung des Versuchs im Grenzfall alle mit derselben relativen Häufigkeit auftreten. Daraus folgt, dass sie für das vergessliche Dornröschen gleich wahrscheinlich sind: p(MK)=p(MZ)=p(DZ). Die Gleichwertigkeit von MZ und DZ ist ein Nebenprodukt der frequentistischen Überlegung. Das Indifferenzprinzip wird dafür nicht gebraucht.

Fazit

Wer bei stochastischen Problemen nicht in Schwierigkeiten kommen will, der sucht am besten nach einer Häufigkeitsinterpretation und nach der Möglichkeit experimenteller Belege für seine Lösungsvorschläge. Ein Beispiel ist das Drei-Tassen-Experiment, mit dem ich meine Söhne von der korrekten Lösung des Ziegenproblems überzeugen konnte.

Subjektive Wahrscheinlichkeiten beruhen auf einer ausgiebigen Nutzung des Indifferenzprinzips. Dabei ist zuweilen nicht klar, inwieweit dessen Anwendung berechtigt ist.

Quellen

Carnap, Rudolf; Stegmüller, Wolfgang: Induktive Logik und Wahrscheinlichkeit. 1959

Pöppe, Christoph: Mathematische Unterhaltungen. Dornröschen und die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Spektum der Wissenschaft 11/2019, S. 80-84

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11 Antworten zu Dornröschen und die subjektiven Wahrscheinlichkeiten

  1. Ralf Jakobi sagt:

    Die subjektivistische Sichtweise erscheint mir auch zweifelhaft. Man muss aber kein Subjektivist sein, um auf das Ergebnis „1/2“ zu kommen, sondern kann dies ebenfalls
    durch eine Häufigkeitsüberlegung erhalten. Wir betrachten also n Experimente und fragen nach der relativen Häufigkeit für das Ergebnis „Kopf“. Aber relativ wozu und was genau meinen wir denn mit „Ergebnis Kopf“? Ich denke, die beiden Lager („1/2“ und „1/3“) machen hier unterschiedliche, mehr oder weniger implizite Annahmen. Diejenigen, die „1/2“ antworten, meinen damit die Anzahl der Ereignisse, bei denen die Münze „Kopf“ zeigt relativ zur Anzahl aller Münzwürfe. Dagegen meinen diejenigen, die „1/3“ antworten, die Anzahl der Mitteilungen an Dornröschen, dass die Münze „Kopf“ zeigte, relativ zur Anzahl aller Mitteilungen an Dornröschen zum Ausgang des jeweiligen Münzwurfs.
    Nach meiner Einschätzung sind beide Annahmen mit der Aufgabenstellung kompatibel, was daran liegt, dass diese eben nicht präzise genug formuliert ist.
    Somit könnte man also sagen, beide Gruppen haben entsprechend ihrer individuellen Zusatzannahmen recht, oder aber – wenn man solche Zusatzannahmen nicht zulassen möchte – beide haben unrecht. Eine angemessene Antwort von Dornröschen an den Versuchsleiter wäre dann vielleicht: „Was ist das für eine seltsame Frage, die du mir stellst? Was hat es denn für einen Sinn, bei einem bereits eingetretenen Ereignis nach dessen Wahrscheinlichkeit zu fragen? Sage mir doch bitte, für welches zukünftige Ereignis ich eine Wahrscheinlichkeit angeben soll.“ Der Versuchsleiter könnte dann entweder fragen „Wie wahrscheinlich ist es, dass ich dir das Ergebnis „Kopf“ nenne?“ (Antwort: „1/3“) oder „Wie wahrscheinlich ist es, dass die Münze „Kopf“ zeigen wird, wenn ich sie nochmals werfe?“ (Antwort: „1/2“).

    Die Frage, ob die Antwort „1/2“ oder „1/3“ lauten sollte, ist meiner Meinung nach also tatsächlich nur ein Scheinproblem, hervorgerufen durch eine ungenaue Sprache. Stutzig macht mich aber, dass dies in den mehr als zwanzig Jahren, in denen dieses Problem schon diskutiert wird, noch niemandem aufgefallen sein soll. Vielleicht habe ich es ja doch noch nicht richtig verstanden.

  2. Ulrich Berger sagt:

    Ich halte die beiden Zugänge im Grunde für äquivalent. Das Argument des Objektivisten „Falls [Kopf am Montag] nicht stimmt, folgt ein Dienstag, also ein weiterer Tag, für den [Kopf] nicht stimmt“ ist genau jenes, das für den Subjektivisten die Gleichwahrscheinlichkeit von MZ und DZ garantiert. Oder, anders ausgedrückt, Ihre Beobachtung, „Diese Ereignisse finden beide statt, oder keines von beiden“, führt (zumindest für mich) zwingend zum Indifferenzprinzip für diese beiden Ereignisse. Dass Ihnen dieses „nicht geheuer“ ist, kann ich hier nicht nachvollziehen.

    • Timm Grams sagt:

      Dass Sie nicht nachvollziehen können, dass mir die Anwendung des Indifferenzprinzips im gegebenen Fall nicht geheuer ist, kann ich nachvollziehen. Meine Zweifel spiegeln die Uneinigkeit der Subjektivisten.

  3. Timm Grams sagt:

    @ Ralf Jakobi

    Den Schuh „ungenaue Sprache“ ziehe ich mir an. Danke für den Hinweis. Dennoch: Die (wie immer etwas heikle) Formulierung des Problems legt hier meiner Meinung nach nahe, als Bezugsgröße die Anzahl der Befragungen zu nehmen.

    • Ralf Jakobi sagt:

      Den Schuh der ungenauen Formulierung müssen Sie sich nicht anziehen. Schliesslich haben Sie das Dornröschen-Problem nicht erfunden. Im Spektrum-Artikel ist das Problem auch nicht klarer geschildert. In dem Eintrag „Sleeping Beauty problem“ der englischen Wikipedia findet man die Formulierung „What is your credence now for the proposition that the coin landed heads?“ Auch diese Fragestellung macht das Problem nicht eindeutig. Sicher könnte man jetzt noch lange darüber streiten, welche Interpretation der Frage (im Hinblick auf die Häufigkeitsüberlegungen) richtig ist. Aus so einer Diskussion liesse sich aber wohl kaum eine nützliche Erkenntnis gewinnen. Vielleicht sollte man die Frage an Dornröschen richten: „Mit welcher Wahrscheinlichkeit, glaubst du, ist die richtige Antwort auf das ursprüngliche Problem 1/3 bzw. 1/2?“

  4. Ralf Jakobi sagt:

    Zunächst muss ich meinen Fehler korrigieren, Dornröschen die Frage des Prinzen („Versuchsleiter“) zurückzuweisen zu lassen. Dornröschens (bzw. meine) Begründung dafür war ja, dass Wahrscheinlichkeiten nur für zukünftige Ereignisse definiert seien. Dies gilt aber nur für die klassische Wahrscheinlichkeitslehre. Subjektive Wahrscheinlichkeiten kann man dagegen auch für Ereignisse angeben, die bereits in der Vergangenheit erfolgt sind. Wenn man annimmt, dass sich der Ausdruck „wahrscheinlich“ in der Frage an Dornröschen auch auf subjektive Wahrscheinlichkeiten erstreckt (der Ausdruck „credence“ in der englischen Version der Frage, spricht sogar dafür, dass es explizit um eine subjektive Wahrscheinlichkeit geht), gibt es für Dornröschen keinen Grund mehr, die Frage abzulehnen.

    In der „Spektrum der Wissenschaft“ und in der englischen Wikipedia bezieht sich die Frage nun aber ganz klar auf ein Ereignis in der Vergangenheit („… zeigte die Münze Kopf?“ bzw. „… landed heads?“), womit also nur der Münzwurf gemeint sein kann, was nach der Beschreibung in meinem ersten Beitrag zu der Wahrscheinlichkeit „1/2“ führt, und das sollte Dornröschen auch antworten.

    Erst heute ist mir aufgefallen, dass die Darstellung des Problems hier in „Hoppla!“ gerade in der Formulierung der Frage von den anderen Darstellungen abweicht, und zwar genau darin, dass sich die Frage an Dornröschen eben nicht eindeutig auf ein bereits stattgefundenes Ereignis bezieht. Daher gilt meine Argumentation hier nicht und „1/3“ ist eine mögliche Antwort. Tatsächlich ging es hier ja wohl auch gar nicht um die Antwort auf das Originalproblem, sondern darum, wie man eine subjektive Betrachtung besser durch eine objektive Betrachtung ersetzt.

    • Timm Grams sagt:

      Die Unsicherheit, „dass sich die Frage an Dornröschen eben nicht eindeutig auf ein bereits stattgefundenes Ereignis bezieht“, habe ich zu verantworten. Die Frage an Dornröschen hätte korrekt lauten sollen: „Wie wahrscheinlich ist es, dass dieser Münzwurf Kopf zeigte?“ Damit wäre klar gestellt, dass auch meine Version des Dornröschen-Problems so zu verstehen ist, dass der Münzwurf stattgefunden hat, bevor der Prinz fragt, und dass es um die aktuelle Wahrscheinlichkeit geht.

      Nicht zustimmen kann ich, wenn Sie schreiben, dass Wahrscheinlichkeiten nur für zukünftige Ereignisse definiert seien. Sie fahren fort: „Dies gilt aber nur für die klassische Wahrscheinlichkeitslehre. Subjektive Wahrscheinlichkeiten kann man dagegen auch für Ereignisse angeben, die bereits in der Vergangenheit erfolgt sind.“

      Dem halte ich entgegen, dass man beide Wahrscheinlichkeitsauffassungen sowohl auf zukünftige Ereignisse anwenden kann als auch auf noch im Dunkel liegende vergangene. Ein Beispiel für die Anwendung frequentistischer Wahrscheinlichkeiten auf vergangene Ereignisse liefert der Operateur eines Kraftwerks, der sich einem Störfall gegenüber sieht: Die Leitwarte zeigt ihm an, dass ein Störfall aufgetreten sein muss. Er kennt zwar die (frequentistischen) Wahrscheinlichkeiten für mögliche Ursachen, weiß aber nicht, welche vorliegen. Auf dieser Grundlage muss er entscheiden.

  5. Ralf Jakobi sagt:

    Richard Feynman vertritt in einer Vorlesung (zu finden in dem Buch „Was soll das alles?“) die Ansicht, dass Wahrscheinlichkeiten nur für zukünftige Ereignisse sinnvoll zu berechnen sind. Er nennt dies sogar ein Grundprinzip. Es geht ihm dabei wohl vor allem darum, dass man eine Hypothese nicht auf Basis bereits bekannter Daten erstellt und sie mit denselben Daten verifiziert (ein Beispiel dazu findet man in der Wikipedia unter „HARKing“). Ich halte es aber nicht für verkehrt, wenn man versucht Feynmans Prinzip generell auf Wahrscheinlichkeitsüberlegungen anzuwenden. Man kann (so vermute ich) eine Wahrscheinlichkeitsangabe fast immer so interpretieren, dass sie sich auf ein zukünftiges Ereignis bezieht. In dem Beispiel mit dem Kraftwerk, könnte man die Wahrscheinlichkeit für einen spezifischen Störfall auch so auffassen, dass sie die Wahrscheinlichkeit für das zukünftige Auftreten dieses Störfalls repräsentiert. Um im Einklang mit Feynmans Prinzip zu bleiben, könnte man von „relativer Häufigkeit“ anstatt von „frequentistischer Wahrscheinlichkeit“ reden, wenn es um vergangene Ereignisse geht.

    Beim Dornröschen-Problem kommt man nun in Konflikt mit Feynmans Prinzip. Zu dem Zeitpunkt, wo der Versuchsleiter (d.h. der Prinz) seine Frage an Dornröschen richtet, liegt nur das Ereignis der Mitteilung des Münzwurfs an Dornröschen in der Zukunft, während der Münzwurf selbst ein vergangenes (und einmaliges) Ereignis darstellt, das in diesem Experiment – nach Feynman – entweder mit der relativen Häufigkeit 1 eingetreten ist oder mit der relativen Häufigkeit 0 (wenn die Münze Zahl zeigte). Erst durch diese Überlegung ist mir aufgefallen, dass man es beim Dornröschen-Problem mit zwei verschiedenen Arten von Ereignissen zu tun hat, was der Ansatzpunkt für meine Lösung war. Nun mag das einem ja auch ohne Feynmans Prinzip auffallen, aber ich wollte dieses Prinzip trotzdem nicht ignorieren, und daher musste Dornröschen die Frage des Versuchsleiters zunächst zurückweisen.

    Später ist mir eingefallen, dass die Frage doch zulässig sein könnte, wenn man auch subjektive Wahrscheinlichkeiten einschliesst (in der Wikipedia findet man unter dem Eintrag „Wahrscheinlichkeit“ im Kapitel „Philosophie …“ sinngemäss die Aussage, dass sich objektive Wahrscheinlichkeiten immer auf zukünftige Ereignisse beziehen, während sich subjektive Wahrscheinlichkeiten auf vergangene und zukünftige Ereignisse anwenden lassen). D.h. mein einziger Grund, hier von subjektiven Wahrscheinlichkeiten zu reden, war die Legitimierung der Frage des Versuchsleiters im Sinne von Feynmans Prinzip. Der Begriff der „frequentistischen Wahrscheinlichkeit“ hätte diesen Zweck sicherlich ebenfalls erfüllt, wenn man ihn als anwendbar für vergangene Ereignisse sieht.
    Vielleicht könnte Dornröschen die Frage des Versuchsleiters auch so interpretieren: „Mit welcher Wahrscheinlichkeit lässt sich herausfinden (also zukünftig und ohne Bezug auf die Mitteilung über den Münzwurf), dass die Münze Kopf zeigte?“, um damit einen Widerspruch zu Feynmans Prinzip zu vermeiden, ohne Zuflucht zu subjektiven Wahrscheinlichkeiten zu nehmen.

  6. Karl Kloos sagt:

    Ich bin von diesem Problem schon ziemlich irritiert, ich vermute, dass der Fehler nicht einfach in der uneindeutigen Formulierung liegt, sondern der Vermischung von Objekt- und Metasprache, wie es in anderen irritierenden Logik-Rätseln der Fall ist, die Aussagen mit Selbstbezug beinhalten.

    Die Vermischung von Objekt- und Metasprache sorgt darfür, dass man Aussagen aus zwei verschiedenen Blickwinkel betrachten kann und es zu Irritationen kommen kann, wie z. B. in der Pseudo-Aussage „Dieser Satz ist falsch.“.
    Ähnlich ist es hier, in dem man den Blickwinkel von Dornröschen einnehmen kann, als auch den Blickwinkel aller möglichen Ereignisse.

    • Ralf Jakobi sagt:

      Für mich gibt es keinen Widerspruch zwischen den beiden Blickwinkeln. Dornröschen sind doch alle möglichen Ereignisse bekannt.

  7. Timm Grams sagt:

    In den bisherigen Diskussionsbeiträgen erkenne ich einen gemeinsamen Kern. Dieser steckt auch im ursprünglichen Disput zwischen Adam Elga („Self-locating belief and the Sleeping Beauty problem“, 2000) und David Lewis („Sleeping Beauty: reply to Elga“, 2001). Bevor wir uns dem Kernpunkt nähern, muss ich etwas zum Drumherum des Rätsels sagen.

    Dornröschen wird bereits am Sonntag über die Prozedur der Folgetagen informiert und soll vorab ihre Schätzung abgeben. Dornröschen – zwar vergesslich, aber blitzgescheit – fragt nicht einmal, ob die Münze bereits geworfen worden ist oder ob das noch geschehen wird. Sie sagt: „Kopf und Zahl haben dieselbe Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/2.“

    Elga behauptet in seinem Aufsatz, dass sich in der Nacht zu Montag Dornröschens Schätzung geändert haben muss; nun sei für sie die Wahrscheinlichkeit für Kopf gleich 1/3. Warum er es so sieht, habe ich im Artikel beschrieben: Für ihn sind die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse MK, MZ und DZ aufgrund des zweimal angewendeten Indifferenzprinzips gleich.

    Man fragt sich, wohin 1/6 der Wahrscheinlichkeit für Kopf entschwunden sein könnte. Lewis jedenfalls sieht keinen Grund für die Änderung der Schätzung; Dornröschen habe nämlich bis Montag nichts Neues erfahren.

    Für Elgas Auffassung spricht, dass sich Dornröschen tatsächlich in zwei grundverschiedenen Situationen wiederfindet: am Sonntag betrachtet sie das Experiment, das der Prinz mit ihr vorhat, von außen, sozusagen auf der Metaebene. Dieser Gesichtspunkt klingt im Kommentar von Karl Kloos an. Auch Ralf Jakobi meint offenbar diese Situation, wenn er schreibt: „Diejenigen, die ‚1/2‘ antworten, meinen damit die Anzahl der Ereignisse, bei denen die Münze ‚Kopf‘ zeigt relativ zur Anzahl aller Münzwürfe.“

    Ab Montag hat Dornröschen die Metaebene verlassen und ist mitten drin im Experiment. Das Rätsel bezieht sich ausschließlich auf diese zweite Situation. Ich vertrete die Auffassung, dass des Rätsels Lösung eindeutig ist und dass Dornröschen die Zahl 1/3 nennen sollte. Ich folge Elga, auch wenn ich eine grundsätzlich andere Begründung wähle.

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