Wie real ist unendlich?

Nach dem Heute gibt’s ein Morgen, danach ein Übermorgen, und so weiter – endlos, solange nicht ein „Jüngstes Gericht“ dazwischenkommt. Wir zählen 1, 2, 3, … und haben nicht die geringste Schwierigkeit, uns das Unendlich vorzustellen. Zu Beginn meines Studiums hatte ich ein bestürzendes Erlebnis.

Die Russellsche Antinomie

Eine Studienfreundin behauptete, es war auf einer Party, dass die Mathematik gar nicht exakt und sogar in sich widersprüchlich sei. Die dort verwendeten Mengen seien gar nicht einwandfrei definiert, beispielsweise könne es die Menge aller Mengen nicht geben. Ich widersprach. Ein Freund aus einem höheren Semester sprang ihr bei. So lernte ich die Russellsche Antinomie kennen: Wir betrachten nur Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten. Das sind also Mengen, denen wir normalerweise begegnen. Die Menge der natürlichen Zahlen beispielsweise enthält alle natürlichen Zahlen, also 1, 2, 3, usw., nicht aber die Menge der natürlichen Zahlen. Markieren wir die Mengenbildung mit den geschweiften Klammer, dann schreiben wir die Menge der natürlichen Zahlen so: {1, 2, 3, …}. Wir können zwar die Menge {1, 2, 3, …, {1, 2, 3, …}} bilden, aber das ist nicht mehr dieselbe Menge wie die der natürlichen Zahlen; sie umfasst neben den natürlichen Zahlen auch die Menge der natürlichen Zahlen. Auch sie enthält sich nicht selbst.

Nun definieren wir eine Menge U derart, dass sie alle Mengen enthält, die sich selbst nicht als Element enthalten. Diese Gesamtheit der Mengen, ich nenne sie einmal unser Universum, ist selbst eine Menge. Wir fragen uns, ob U von derselben Art ist wie seine Elemente.

Wir fragen also, ob diese Menge U sich selbst enthält: Falls ja, dann enthält sie sich definitionsgemäß nicht; falls nein, dann doch. Der Selbstwiderspruch ist offenbar. Die Studienfreundin lag also ganz richtig mit ihrem Misstrauen gegenüber einem naiven Mengenbegriff.

Aus der Russellschen Antinomie habe ich eine Lehre für das Leben gezogen: Nimm dich in Acht vor Dingen, die allzu groß sind!

Wann wird’s zu groß?

Den Anstoß zu diesem Artikel gab mir das Februar-Heft von Spektrum der Wissenschaft: „Eine neue Theorie der Unendlichkeit“. Darin stellt der Autor Delahaye fest, „dass das Mengenuniversum, mit dem Mathematiker arbeiten, zu groß sein könnte“,  so dass sich Vermutungen wie beispielsweise die Kontinuumshypothese darin nicht entscheiden lassen (SdW 2/2021).

Um das zu verstehen, brauchen wir etwas Vorbereitung. Zwei Mengen besitzen die gleiche Mächtigkeit, wenn sich die Elemente der einen Menge eins zu eins auf die Elemente der anderen Menge abbilden lassen. Es gehört zum Grundwissen der Mengenlehre, dass die rationalen Zahlen, die Brüche also, dieselbe Mächtigkeit haben wie die natürlichen Zahlen; sie sind also abzählbar. Das ist schon erstaunlich, denn diese Brüche liegen auf der Zahlengeraden dicht an dicht beieinander, ganz anders als die natürlichen Zahlen. Die reellen Zahlen, die sich über Folgen rationaler Zahlen definieren lassen, besitzen eine größere Mächtigkeit, sie sind nicht abzählbar (Kamke, 1969).

Die Kontinuumshypothese besagt nun, dass es keine Untermenge der reellen Zahlen gibt, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. Und genau diese Aussage lässt sich im Rahmen des üblichen Zahlensystems weder beweisen noch widerlegen. Der Spektrum-Aufsatz zeigt Wege auf, wie das Zahlensystem verändert werden könnte, so dass diese Frage eine eindeutige Antwort findet. Aber das führt hier zu weit.

Ewige Vergangenheit?

Mit der Ewigkeit – obwohl auch unermesslich groß – haben wir dieses Probleme zunächst nicht, zumindest was die Zukunft angeht. Diese zukünftige Unendlichkeit überfordert unser Vorstellungsvermögen nicht, da sie nicht abgeschlossen vorliegen muss: Jedem Tag folgt ein weiterer, bis in alle Ewigkeit. Ein Beweis dieser Annahme bleibt uns glücklicherweise erspart.

Schlimmer steht es um die Vergangenheit. Wenn der Naturalist sagt, die Welt sei unerschaffen, dann soll das wohl heißen, dass sie schon ewig existiert (Mahner 2018, S. 11). Das ewig Vergangene ist, anders als die Zukunft, nicht offen, sondern abgeschlossen. Und genau das übersteigt unser Vorstellungsvermögen.

Frühe Denker umgingen diese Schwierigkeit, indem sie dem Zeitstrahl einen Anfang setzten: „Da schied Gott das Licht von der Finsternis und nannte das Licht Tag und die Finsternis Nacht. Da ward aus Abend und Morgen der erste Tag.“ ( 1. Mose 1) Ich lese das so, dass mit der Welt auch die Zeit erschaffen wurde, so dass es ein ewig Vergangenes von vornherein gar nicht gibt. Unser Gehirn wird jetzt nicht mehr durch die Mathematik gemartert, sondern durch die Physik.

Abgeschlossenes Unendlich

Unendlich viele Schritte müssen nicht ins Endlose führen. Jeder kennt die Geschichte von Achilles und der Schildkröte, eine der scheinbaren Paradoxien des Zenon von Elea. Ich werde eine damit verwandte Geschichte erzählen, die ich während meines Studiums erlebt habe. Ich erinnere mich so. Axel meinte: Die Reihe 1/2+1/4+1/8+1/16+… nähert sich beliebig genau dem Wert 1. Ich erwiderte: Die Reihe in ihrer Gesamtheit ist gleich 1. Du sagst ja auch nicht, dass der unendliche Dezimalbruch 3,1415… sich der Kreiszahl Pi nur annähert. Du bist ja wie ich der Meinung, dass dieser unendliche Dezimalbruch – auch wenn wir nur wissen, wie wir die Ziffern berechnen können, sie aber niemals vollständig hinschreiben können – genau gleich der Kreiszahl ist.

Wir sind uns damals nicht einig geworden. Dabei hätte ich Axel vermutlich leicht davon überzeugen können, dass die fragliche Reihe gleich eins sein muss. Heute würde ich das so erklären: Wir starten mit einem leeren Quadrat der Fläche 1 (linkes Teilbild). Nun füllen wir es sukzessive mit Flächen, die den Reihengliedern entsprechen. Das erste Summenglied ist gleich der Hälfte des gesamten noch ungefüllten Quadrats (mittleres Teilbild). Dazu kommt die Hälfte des Rests, das ist 1/4 der Gesamtfläche, dazu dann wieder die Hälfte der Restfläche (also 1/8), und so weiter. Jede Grenze unterhalb von 1 wird im Laufe des Prozesses überschritten, niemals aber die 1 selbst. Also ist  1 der einzig sinnvolle Wert, den man der Reihe zumessen kann.

Wir haben es mit unendlich vielen Schritten zu tun, die aber alle in einem endlichen Bereich untergebracht werden können. Die Unendlichkeit verliert so ihren Schrecken und mehr noch: Sie erleichtert dem Mathematiker das Leben.

Zwischen den Spiegeln

Die Türen des Spiegelschranks stehen offen und sind nahezu parallel zueinander. Sie selbst befinden sich dazwischen und erleben die Unendlichkeit. Ihr Bild wiederholt sich und die Kopien verlieren sich erst in weiter Ferne. Sie erleben sich als unendlich viele virtuelle Existenzen.

So etwa stelle ich mir das „Ich denke, also bin ich“ des René Descartes vor: Ich, das Subjekt, denke mich als Objekt. Da ich mir das Objekt als denkend vorstellen muss, denkt es selbst höchst subjektiv über sich als Objekt nach, und so fort … Das ist eine Rekursion, ein infiniter Regress. Wie kann der Philosoph diesen „Reflexionsstrudel“ (Schnädelbach, 2012, S. 114) loswerden?

Der Naturalist versucht das gar nicht erst. Er meint, die eine Welt erkennen zu können, die unabhängig vom Bewusstsein existiert. Er betrachtet die Welt im Spiegel der Natur. In dieser Welt hat auch er seinen Platz und damit auch sein Bewusstsein, mit dem er selbst wiederum die nun gespiegelte Welt erkennt. Die Subjekt-Objekt-Trennung führt schnurstracks in die gefürchtete Rekursion mit ihren unendlich vielen Spiegelbildern.

Jüngere Philosophen, aber bereits auch Immanuel Kant, vermeiden das Problem, indem sie das Ich oder Selbst zum Verschwinden bringen. Bei Kant leistet das die Transzendenz. Im Abschnitt  „Von den Paralogismen der reinen Vernunft“ schreibt er: „Durch dieses Ich oder Er oder Es (das Ding), welches denkt, wird nun nichts weiter als ein transcendentales Subject der Gedanken vorgestellt = X, welches nur durch die Gedanken, die seine Prädicate sind, erkannt wird, und wovon wir abgesondert niemals den mindesten Begriff haben.“ (Kant, 2011, S. 332)

Neuere Bestrebungen laufen in dieselbe Richtung, indem das Selbst mit dem phänomenalen Selbstmodell in eins gesetzt und die Subjekt-Objekt-Trennung dadurch aufgehoben wird. „Ist die Existenz eines erlebenden Selbst ein notwendiger Bestandteil des Bewusstseins?  Ich glaube das nicht“ schreibt Thomas Metzinger (2009, S. 101). Also auch hier: Das Ich wird zum Verschwinden gebracht!

Mengen von Mengen

Wir haben uns ein paar Fälle angeschaut, in denen Selbstreferenzen große Probleme bereiten und in denen man die Selbstreferenz nur unter großen geistigen Anstrengungen los wird. Ich bringe nun noch ein Beispiel, wo die Selbstreferenz sogar Kern eines Beweises und somit Lösung eines Problems ist.

Zu beweisen ist der Satz, dass die Potenzmenge P(M) einer Menge von größerer Mächtigkeit ist als die der Menge M selbst. Die Menge M kann endlich sein oder abzählbar oder auch von größerer Mächtigkeit, wie beispielsweise die Menge der reellen Zahlen.

Die Potenzmenge enthält sämtliche Untermengen von M einschließlich der leeren Menge und der vollen Menge M, also insbesondere auch die Mengen, die jeweils nur ein Element von M enthalten. Das heißt aber, dass M und eine Untermenge von P(M) die gleiche Mächtigkeit haben. Die Mächtigkeit von P(M) kann demnach nicht kleiner als die von M sein. Wir brauchen nun nur noch zu zeigen, dass P(M) und M nicht die gleiche Mächtigkeit haben können. Das leistet der folgende Widerspruchsbeweis.

Wir nehmen an, dass die Mengen die gleiche Mächtigkeit besitzen; es gibt also eine Eins-zu-eins-Abbildung zwischen den Elementen von M und den Elementen von P(M). Um den Widerspruch zu erzeugen, suchen wir ein Element X von P(M), das durch eine solche Abbildung nicht erfasst wird.

X ist Untermenge von M. In der Eins-zu-eins-Abbildung sei ihr das Element x aus M zugeordnet. In der Untermenge X mögen sich alle die Elemente von M versammelt finden, die nicht in ihrer Bildmenge vorkommen und keine weiteren.

Die Frage lautet nun: gehört x zur Menge X?

Sowohl das Ja als auch das Nein führen zum Widerspruch. Definitionsgemäß kann x nicht in der Menge X enthalten sein. Dann aber müsste X aus demselben Grund x enthalten. Es ist also dieselbe Argumentation wie bei der Russellschen Antinomie, die hier den Widerspruch offenbart (Kamke, 1969, S. 32-34). Damit ist der Satz bewiesen, dass die Potenzmenge einer Menge eine größere Mächtigkeit hat als die Menge selbst.

Zum Schluss

Das Unendliche hat in der von uns erfahrenen Welt keine Entsprechung. Das uns bekannte Universum ist zwar riesig aber dennoch von endlicher Ausdehnung. Dasselbe gilt für die Gesamtzahl der Elementarteilchen: riesig aber endlich. Dennoch drängt sich das Unendliche mit Macht in unser Denken. Dort schafft es Unordnung, wie wir am infiniten Regress und an einigen Paradoxien haben sehen können. Das dient uns zur Warnung, so dass wir Denkfallen meiden können.

Andererseits ist das gedachte Unendlich in der Mathematik von großem Nutzen. Es ermöglicht Grenzübergänge, die das Gebäude der Mathematik vereinfachen und ihm Glanz geben. Aber das hat auch seine Tücken: Die Schönheit und Eleganz der Mathematik verleitete nicht nur Galileo Galilei zur Annahme, dass das Buch der Natur in der Sprache der Mathematik verfasst worden sei. Das ist eine Überschätzung oder gar Vergöttlichung der Mathematik. Die Erkenntnis, dass das Unendliche in der erfahrbaren Welt einfach keinen Platz hat, kann uns davor bewahren, in diese Denkfalle zu tappen.

Literaturhinweise

Delahaye, Jean-Paul: Logik. Das fehlende Puzzleteil. SdW 2/2021, 12-20

Descartes, René: Abhandlung über die Methode des richtigen Vernunftgebrauchs. Reclam, Stuttgart 1961

Kamke, Erich: Mengenlehre. Walter de Gruyter, Berlin 1969

Kant, Immanuel: Kritik der reinen Vernunft (Nach der zweiten Auflage von 1787). Anaconda, Köln 2011

Mahner, Martin: Naturalismus. Die Metaphysik der Wissenschaft. alibri, Aschaffenburg 2018

Metzinger, Thomas: Der EGO Tunnel. Piper, München 2009

Schnädelbach, Herbert: Was Philosophen wissen und was man von ihnen lernen kann. C. H. Beck, München 2012