Nehmen wir an, eine Spaghetti zerbricht auf zufällige Weise in drei Stücke. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich aus diesen drei Stücken ein Dreieck legen lässt?
Ich nenne die Denksportaufgabe problematisch, weil die Bedingungen für das Zerbrechen unklar sind. Deshalb ergänze ich die Aufgabe folgendermaßen: Die möglichen Tripel aus den Längen der Bruchstücke x, y und z sind gleich wahrscheinlich.
Die Aufgabe ist nicht ganz leicht. Aber sie macht Spaß. Bitte fügen Sie Ihren Lösungsvorschlag als Kommentar hinzu. Sie können ein Bild einbinden.
Die Frage, wie Spaghetti brechen, hat bereits den berühmten Physiker Richard Feynman bewegt. Die Beobachtung, dass Spaghetti praktisch nie in der Mitte brechen und es meist zu mehreren Bruchstücken kommt, wenn man sie biegt, hat Forscher angeregt, die Bruchmechanik von Spaghetti zu erkunden. Für die Forscher, die eine Antwort gefunden haben, gab es dann den Ig-Nobelpreis. Eins dürfte damit klar sein: Die von mir nachgeschobene Annahme über die Bruchstücke ist nicht der Wirklichkeit abgeschaut. Das aber kann den Spaß an der Denksportaufgabe nicht schmälern.
Ich habe eine banale numerische Lösung (Openoffice sheet) der Denksportaufgabe gesucht. Mathematiker würden vermutlich bessere Lösungen finden.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich aus diesen drei Bruchstücken ein Dreieck legen lässt, schwankt um ungefähr 25%. Die Schwankungsbreite lag bei mir bei ungefähr +- 3%.
Ich habe Zufallszahlen verwendet. Wenn eine „Seite“ länger war als die halbe Spaghetti Länge, ist kein Dreieck mehr möglich. Das war in rund 75% der simulierten Fälle der Fall.
Die Position der ersten Bruchstelle spielt (fast) keine Rolle.
Ist die zweite Bruchstelle nicht mehr als eine halbe Spaghettilänge entfernt,
so kann man ein Dreieck daraus legen. Also wäre die Wahrscheinlichkeit 0,5.
Probleme habe ich, wenn die erste Bruchstelle exakt in der Mitte liegt.
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist aber unendlich klein…
Eine Spaghetti zerbricht eben niemals in der Mitte.
oje, ist doch etwas komplizierter: die zweite Bruchstelle darf auch keine halbe Spaghettilänge vom Rand entfernt sein …
Betrachte ich die Punkte auf der Spaghetti von links nach rechts, so ist der Bereich in dem Brechpunkt2 liegen muß, so groß, wie der Betrag von Brechpunkt1. Das gilt bis zur Mitte der Spaghetti und bis zur Wahrscheinlichkeit 0,5. Über die Mitte hinaus sinkt die Wahrscheinlichkeit wieder auf 0. Der Graph der Wahrscheinlichkeiten wäre ein Dreieck mit Spitze bei (0,5|0,5), damit wäre die Summe der Wahrscheinlichkeiten 0,5*0,5*1=25%
Sie haben uns an der Entwicklung Ihrer Lösung teilhaben lassen. Das gefällt mir. (Ich habe Ihre drei Kommentare zu einem zusammengefasst.)
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit setzen wir die Gesamtlänge der Spaghetti auf eins. Es gilt also: x+y+z=1. Das Tripel (x, y, z) markiert einen Punkt in einem kartesischen Koordinatensystem. Auf jeder der Koordinatenachsen tragen wir einen Punkt beim Wert 1 ein. Diese Punkte nennen wir A, B und C. Alle möglichen Punkte mit x+y+z=1 liegen auf dem Dreieck ABC. Die Dreiecksungleichung ist genau dann erfüllt, wenn x<1/2 UND y<1/2 UND z<1/2 ist. Durch diese Bedingungen wird ein kleineres Dreieck DEF für alle möglichen Tripel ausgeschnitten, die der Dreiecksungleichung genügen. Das kleine Dreieck hat ein Viertel der Fläche des großen Dreiecks und 1/4 ist auch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich aus den Spaghettibruchstücken ein Dreieck legen lässt.
Der Lösungsvorschlag hat etwas von einer Ochsentour: Aufgrund der Wahl des kartesischen Koordinatensystems sind alle Schritte zwar ziemlich hartes Zeug, aber naheliegend.
Auch die Musterlösung Spaghetti-Dreieck aus dem Spektrum der Wissenschaft oder auf der Seite Rätselgeist.de finde ich nicht so recht überzeugend.
Ich stelle den folgenden Lösungsvorschlag zur Diskussion:
Wir betrachten drei Ereignisse:
1. Die beiden Bruchstellen liegen in der linken Hälfte.
2. Die beiden Bruchstellen liegen in der rechten Hälfte.
3. Die beiden Bruchstellen liegen in verschiedenen Hälften aber um wenigstens die halbe Spaghettilänge auseinander.
Das sind disjunkte Ereignisse und die Wahrscheinlichkeiten dafür lassen sich addieren. Das erste und zweite Ereignis haben je die Wahrscheinlichkeit 25%. Das ist leicht einzusehen.
Dass das auch für das dritte Ereignis gilt, erkläre ich mir folgendermaßen: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Bruchstellen in verschiedenen Hälften liegen, ist gleich 50%. Die Bruchstellen sind in den jeweiligen Hälften gleich verteilt. Meine Berechnungen ergeben für die Verteilungsfunktion ihres Abstands: F(x) = 2x² für x≤½. (Für ½≤x ist F(x)=1-2×(1-x)². Das ist für die Lösung der Rätselaufgabe zwar ohne Bedeutung, zeigt aber eine schöne sigmoide Funktion.) Der Abstand dieser Bruchstellen ist also mit der Wahrscheinlichkeit von 50% wenigstens so groß wie die halbe Spaghettilänge. Wir erhalten also auch hier eine Wahrscheinlichkeit von 50% × 50%, also 25%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich kein Dreieck gibt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der drei Ereignisse und folglich gleich 75%.