Kontroverse um das Drei-Türen-Problem (Ziegenproblem) dauert an

Rückblick auf das Problem, die Zwei-Drittel-Lösung und den Fifty-fifty-Irrtum

Der Zwist um das Drei-Türen-Problem (Ziegenproblem) wurde im Jahr 1990 von Marilyn vos Savant in einer ihrer Kolumnen angestoßen. Ihr Lösungsvorschlag stieß auf teilweise erbitterten Widerspruch; und es waren Geistesgrößen unter ihren Gegnern. Dieser Widerspruch ist bis heute nicht verstummt.

Dabei gibt es einfache Beweise dafür, dass Marilyn vos Savant richtig liegt. Auf meiner Denkfallen-Seite habe ich die Sache dargestellt. Hier noch einmal eine kurze Zusammenfassung.

Das Problem. Große Fernsehshow. Der Supergewinn verbirgt sich hinter einer von drei Türen. Der Kandidat trifft seine Wahl. Die Tür wird jedoch zunächst nicht geöffnet. Der Showmaster öffnet eine der beiden anderen Türen, wohl wissend, dass dahinter eine Ziege als lebende Niete angepflockt ist. Der Showmaster stellt dem Kandidaten nun frei, bei seiner ursprünglichen Wahl zu bleiben oder die dritte der Türen zu öffnen. Soll er, oder soll er nicht?

Lösung. Es lohnt sich, zu wechseln. Durch den Wechsel verdoppelt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 auf 2/3. Und so lässt sich diese Zwei-Drittel-Lösung begründen: Hinter der vom Kandidaten gewählten Tür steckt der Hauptgewinn mit der Wahrscheinlichkeit 1/3. Mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 steckt der Hauptgewinn hinter einer der beiden anderen Türen. An diesen Wahrscheinlichkeiten ändert sich durch die Offenbarung einer Niete durch den – voraussetzungsgemäß gut informierten – Showmaster gar nichts. Der Showmaster liefert Information. Und diese kann der Kandidat nutzen.

Der Fifty-fifty-Irrtum. Die weitaus meisten der Befragten (erfahrungsgemäß so um die 99%) meinen allerdings, dass es sich nicht lohnt, neu zu wählen. Sie kommen zum Schluss, dass es egal ist, was man macht. Dieser populäre Fifty-fifty-Irrtum beruht auf einer falschen Anwendung des Indifferenzprinzips („Wenn keine Gründe dafür bekannt sind, um eines von verschiedenen möglichen Ereignissen zu begünstigen, dann sind die Ereignisse als gleich wahrscheinlich anzusehen“, John Maynard Keynes). Anstatt es korrekterweise nur auf die Ausgangssituation anzuwenden, wird das Prinzip fälschlich auch auf die durch den Showmaster veränderte Situation übertragen: Es stehen nur noch zwei Türen zur Wahl, und hinter jeder der Türen befindet sich der Hauptgewinn mit derselben Wahrscheinlichkeit von 50%; was aber nicht stimmt.

Die Kontroverse

Vertreter der Fifty-fifty-Lösung besitzen großes Beharrungsvermögen und sie sind wenig zimperlich, wenn es um die Verteidigung ihrer Position geht. Auf den Seiten für Unterhaltungsmathematik der Magazine wurde das ausgiebig dokumentiert. Auch das Internet hat viel zu bieten.

Ich wähle einen der ernst zu nehmenden Einwände gegen die Zwei-Drittel-Lösung (www.gfksoftware.de/Ziegenproblem/, kommentierte Version): „Die Reaktion der großen Mehrheit auf die angebliche Zwei-Drittel-Lösung für das ‚Ziegenproblem‘ kann man durchaus so interpretieren, dass sie ‚intuitiv‘ richtig erkannte, dass an der Sache etwas faul ist – nur dass sie nicht genau sagen konnte, wo der Haken liegt. Das Ziegenproblem hat als ‚bestes Beispiel für das Scheitern menschlicher Intuition‘ deshalb eine so große Berühmtheit erlangt, weil die behauptete Lösung gar nicht stimmte.“

Was genau soll es sein, das an der Zwei-Drittel-Lösung nicht stimmt? Und was spricht für die Fifty-fifty-Lösung?

Der Einwand geht dahin, dass man ja über die Absichten des Showmasters gar nichts weiß. Ist der Showmaster böswillig und er will den Kandidaten reinlegen, dann macht er sein Angebot nur, wenn der Kandidat mit seiner Wahl schon richtig gelegen hat. Der wohlwollende Showmaster hingegen wird sein Angebot dann unterbreiten, wenn der Kandidat zunächst auf eine Niete getippt hat. Der zum Wechsel bereite Spieler hat beim böswilligen Showmaster keine Chance, den Gewinn zu erhaschen, beim wohlwollenden erhält er ihn mit hundertprozentiger Sicherheit.

Jetzt ist klar zu erkennen: Der Beweis der Zwei-Drittel-Lösung beruht auf der stillschweigenden Annahme, dass der Showmaster fair ist. Sein Angebot macht er unabhängig davon, welche Wahl der Kandidat getroffen hat. Das kann er beispielsweise dadurch sicherstellen, dass er vor der Show darüber entscheidet.

Jetzt kommt die Psychologie ins Spiel

Die Fifty-Fifty-Lösung lässt sich unter anderem durch die Annahme retten, dass der Showmaster zwischen bös- und gutwillig schwankt: In etwa zwei Drittel der Shows ist er böswillig und im restlichen Drittel wohlwollend, was der Kandidat aber nicht erkennen kann. Auch der wechselbereite Kandidat wird dann mit der Wahrscheinlichkeit von 1/3 den Gewinn erhalten. Der Kandidat kann durch den Wechsel seine Gewinnchancen also nicht verbessern und genausogut bei der ersten Wahl bleiben.

Der Verteidiger der Fifty-fifty-Lösung geht noch weiter, wenn er behauptet „Wer nichts über die Strategie des Showmasters weiß, liegt mit der These richtig, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit für die beiden verbleibenden Türen jeweils gleich 1/2 ist.“

Diese Beweisführung basiert wieder auf Annahmen, und zwar ziemlich künstlichen. Es ist kein Grund ersichtlich, warum gerade solche verzwickten Annahmen unterstellt werden sollten.

Aber Hoppla! – Ich frage mich, welches Spiel hier eigentlich gespielt wird. Haben wir es noch mit Logik und Mathematik zu tun oder sind wir schon auf dem Gebiet der Psychologie?

Ein Fall von Selbstbetrug?

Denksportaufgaben sind knapp und knackig. Alles was sich der Adressat denken kann, muss man nicht sagen. Im Fall des Drei-Türen-Problems liegt es nahe, die Fairness des Showmasters stillschweigend zu unterstellen. Wer diese Annahme in Zweifel zieht, kommt nicht darum herum, nach den Absichten des Showmasters zu fragen. Eine solche Frage habe ich noch nie vernommen. Es kommt wohl kaum zu Missverständnissen.

Ich kann mir vorstellen, dass die ganze Kontroverse einfach darauf zurückgeht, dass die Fifty-fifty-Fraktion nicht wahr haben will, dass sie sich geirrt hat. Irren ist erlaubt und eigentlich nicht ehrenrührig.  Aber wer will vor sich selbst schon gerne dumm dastehen. Da ist es doch besser, man erfindet eine Geschichte, die aus der falschen Lösung eine richtige macht. Das Selbstwertgefühl wird auch noch dadurch gesteigert, dass diese nachträgliche Rationalisierung eine gehörige Menge Gehirnschmalz erfordert.

Noch ein Ausweg für die Fifty-fifty-Freunde

Die Fifty-fifty-Freunde haben noch einen Weg gefunden, ihre Lösung zu rechtfertigen. Sie betrachten die Situation, dass der Showmaster eine Tür öffnet und sein Angebot unterbreitet. Der Kandidat weiß nicht, ob er es mit einem böswilligen, einem wohlwollenden oder einem fairen Showmaster zu tun hat: „Es bleibt nur der Münzwurf: so erwischt der Kandidat – unabhängig vom Verhalten des Moderators! – mit Wahrscheinlichkeit 1/2 die richtige Tür. Jegliche Bevorzugung einer bestimmten Tür würde dagegen seine Chance im schlimmsten Fall verringern.“ (Marc C . Steinbach über Autos, Ziegen und Streithähne, Juli 2000)

Der Kandidat hat im Falle des Angebots also eine Gewinnchance von fünfzig Prozent, unabhängig von den Absichten des Showmasters. Aber danach war in der Denksportaufgabe gar nicht gefragt. Gefragt war, ob ein Wechsel günstiger ist oder  nicht. Der Münzwurf schützt zwar vor einem böswilligen Showmaster. In anderen Fällen vernichtet er Gewinnchancen. Auf die Frage, ob ein Wechsel von Vorteil ist, gibt es beim Verzicht auf die Annahme eines fairen Showmasters keine schlüssige Antwort.

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27 Kommentare zu Kontroverse um das Drei-Türen-Problem (Ziegenproblem) dauert an

  1. Man kann nur jedem Interessierten empfehlen, meinen von Ihnen zitierten Artikel und die dort angehängten Leserbriefe an die ZEIT aus dem Jahr 1991 selbst zu lesen. Mein Internet-Artikel war ja in seiner Ausführlichkeit nur notwendig geworden, weil zum Thema so viel Unverstandenes verbreitet worden war. Wie kurz eine korrekte Abhandlung des Themas sein kann, zeige ich dort unter „Begründung der 2/3-Lösung bei korrekter Aufgabenstellung“.

    Es geht allerdings auch so, wie es in einem ZEIT-Forum formuliert worden war: „Steht in der Aufgabe, dass der Moderator eine nicht gewählte Ziegentür öffnen muss? – Nicht? – Dann ist also die Zwei-Drittel-Lösung falsch?“

    Lustig ist auch folgender Auszug aus einem Dialog, in dem die Zwei-Drittel-Lösung für die ursprünglich gestellte Aufgabe begründet werden soll: „Jetzt muss der Moderator eine andere Tür mit einer Ziege öffnen.“ – „Warum muss er das?“ – Nun ist der Zwei-Drittel-Vertreter mit seinem Latein am Ende.

    Eine zentrale Aussage in meinem Artikel ist folgende: „Meiner Ansicht nach wird bei vielen in der Zwei-Drittel-Fraktion auch heute noch nicht der Unterschied zwischen der bloßen Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung, insbesondere auch für das „Nachspielen“ und für „Computer-Beweise“.“

    Die „Fallhöhe“ zwischen der angeblich „intuitiven“ Lösung und der angeblich mathematisch korrekten Lösung entsteht aus meiner Sicht dadurch, dass an der Aufgabe genau das weggelassen wurde, was zur Zwei-Drittel-Lösung im Gegensatz zu einer Halbe-Halbe-Lösung führt. Und es gibt zahllose Belege dafür, dass die Publizisten der Zwei-Drittel-Lösung und ihre Mitläufer davon ausgegangen sind, dass sich die Zwei-Drittel-Lösung auch ohne den Zwang durch die Spielregel ableiten lässt, unter dem der Moderator bei korrekt formulierter Aufgabe steht.

    Herr Grams, Sie setzen für sich und alle anderen „implizit“ einen „fairen“ Moderator voraus (seit wann eigentlich?). Aber was soll denn hier „fair“ bedeuten? Dass er den Wechsel nur anbietet, wenn der Kandidat dadurch gewinnt? Oder wenn er, unabhängig von der Wahl des Kandidaten, eine der beiden Ziegentüren öffnet? Und wenn der Kandidat nicht weiß, was hier „fair“ bedeuten soll, hilft es ihm auch nicht, von einem „fairen“ Moderator auszugehen.

    Auch Ihnen empfehle ich, meinen Artikel und meine Leserbriefe von 1991 noch einmal gründlich zu lesen. Dann sehen Sie, dass es eine unüberbietbar lächerliche Unterstellung ist, ich wolle einen Irrtum nicht wahrhaben. Worin soll denn dieser Irrtum bestehen?

    Für die Interessierten hier noch meine – im zitierten Artikel enthaltene – Formulierung der Aufgabe, die tatsächlich eine Zwei-Drittel-Lösung hat; auch zum Vergleich mit dem, was man ihnen bisher erzählt hat:

    „Sie sind Kandidat einer Fernsehshow und stehen vor drei verschlossenen Türen. Hinter einer der Türen, die nach dem Zufallsprinzip bestimmt wurde, befindet sich der Preis, ein Auto; hinter den beiden anderen steht als Zeichen einer Niete jeweils eine Ziege. Der Showmaster weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet. Sie müssen nun zwei Türen bestimmen, von denen der Showmaster eine Ziegentür öffnen muss. Bleibt dem Showmaster dabei eine Wahlmöglichkeit, so bestimmt er die von ihm zu öffnende Tür nach dem Zufallsprinzip. Danach dürfen Sie eine der beiden verbleibenden Türen auswählen. Geben Sie für jede der beiden Türen die Gewinnchance an.

    Beispiel: Sie fordern den Moderator auf, Tür 2 oder Tür 3 mit einer Ziege zu öffnen, und er öffnet die Ziegentür 3. Geben Sie jeweils die Gewinnchance für Tür 1 und Tür 2 an.“

    Ich nehme an, dass viele wie ich denken, dass das eigentlich ein seltsames Spiel ist, das darauf hinausläuft, „zwei aus drei“ Türen auszuwählen; und dessen „Lösung“ wenige Tage nach der Erstausstrahlung in der Boulevard-Presse erschiene mit der Konsequenz, dass das Spiel als „Flop“ erkannt und wieder abgesetzt würde.

    Noch eine Bitte: Kritiken an meinem Artikel und an diesem Beitrag sollten die dort schon formulierten Argumente und Sachverhalte berücksichtigen.

    Übrigens: Ich habe seit 1991 nie Leute getroffen, die die Zwei-Drittel-Lösung für die korrekt gestellte Aufgabe bezweifelt haben. Das liegt sicher daran, dass bei richtig gestellter Aufgabe auch die Begründung leichtfällt …

    • Timm Grams sagt:

      Die Antworten auf die Fragen stehen im Artikel. Ich verzichte auf Wiederholungen.
      Es kommt meines Erachtens gar nicht darauf an, in welcher Laune der Showmaster ist und was der Kandidat darüber weiß: Wir haben es nicht mit einer konkreten Showsituation zu tun, sondern mit einer Denksportaufgabe. Und da ist allein ausschlaggebend, wie der Leser die Aufgabenstellung interpretiert. Marilyn vos Savant hat dazu eigentlich schon alles gesagt: http://marilynvossavant.com/game-show-problem/.
      Der Gedanke an einen böswilligen oder wohlwollenden Showmaster und auch an den vergesslichen, der versehentlich schon einmal die Tür mit dem Hauptgewinn öffnet, macht die Sache nur noch interessanter: Man lernt, unausgesprochene Annahmen zu bedenken und in Frage zu stellen. Das ist gute mathematische Unterhaltung!

    • Für diejenigen, die die Diskussion bis hierher verfolgt haben, hier ein Link auf die erste Seite meines Leserbriefs an DIE ZEIT vom 26. Juli 1991:
      http://www.gfksoftware.de/Ziegenproblem/Leserbrief%201991-1-Seite%201.jpg

    • Timm Grams sagt:

      Gehen wir einmal davon aus, dass 99% der damit Konfrontierten das Rätsel zunächst falsch lösen. Vielleicht sind es sogar 100% minus Marilyn vos Savant. Anfangs gehören wir wohl fast ausnahmslos, wenigstens soweit wir ein bisschen Basiswissen über Wahrscheinlichkeiten haben, zur Fifty-fifty-Fraktion.
      Meine Erinnerung sagt mir: Ich nicht. Aber das muss eine Schmeichelei meines Gedächtnisses sein, das mir eine schöne Geschichte erzählt, um mich bei Laune zu halten. („False historical narratives“ und Selbstbetrug sind gut für unser Selbstbild und unsere Handlungsfähigkeit, wie wir von Biologen wie Robert Trivers wissen. „Solche Mechanismen [des Selbstbetrugs] verschaffen Gefühle von Sicherheit und Optimismus und schenken die Illusion, das Leben kontrollieren zu können“ meint Volker Sommer in seinem sehr lesenswerten Buch „Lob der Lüge. Täuschung und Selbstbetrug bei Tier und Mensch“, 1992.)
      Tatsächlich wird es im Fall des Ziegenproblems wohl so sein, dass viele ihren Irrtum schnell selbst bemerken, andere brauchen vielleicht einen Anstoß von außen und manche sogar eine ausgiebige Belehrung. Der Rest könnte unbelehrbar sein. Es sind wohl wieder die meisten, die sich schließlich zur Zwei-Drittel-Fraktion rechnen.
      Marilyn vos Savant schreibt beispielsweise, dass viele ihrer Leserbriefschreiber ihren Anfangsirrtum eingesehen und diesen in Folgeschreiben auch bekannt hätten („Half of the readers whose letters were published in the previous columns have written to say they’ve changed their minds, and only this next one of them wrote to state that his position hadn’t changed at all. – I still think you’re wrong. There is such a thing as female logic. Don Edwards, Sunriver, Oregon“).
      Die Geschichte eines Überzeugungsversuchs durch Monty Hall selbst – er ist der Showmaster, nach dem das Rätsel oft benannt wird – bringt der Artikel http://www.spiegel.de/spiegel/print/d-13489569.html.
      Ich kann mir gut vorstellen, dass jemand, der über seinen anfänglichen Irrtum erschrocken ist und – zwar grundlos, aber verständlich – an seinen Fähigkeiten zweifelt, dadurch Sicherheit zurückgewinnt, dass er besonders gern über die Zwei-Drittel-Lösung spricht und schreibt und ihr auch noch eigene Erweiterungen hinzufügt.
      Aber möglicherweise befriedigt ihn das noch nicht vollständig und er fragt sich, warum die Fifty-fifty-Fraktion so groß ist und warum so viele Problemlöser anfänglich daneben hauen. Dann tritt er in die Phase der Rationalisierung des eigentlich Falschen ein. Und da kommt dann auch ziemlich windschiefe Logik zum Zuge, wie ich in meinem Hauptartikel an zwei Beispielen gezeigt habe.
      So gesehen, Herr Keller, finde ich Ihren ersten als auch Ihren zweiten ZEIT-Leserbrief überhaupt nicht überraschend. Das ist der Eindruck, den diese Schreiben bei mir hinterlassen haben.
      Über die wahren Motive hinter den Schreiben weiß ich selbstverständlich nichts. Es kann sich auch um einen Scherz handeln, der einzig die Rätselfreunde verunsichern soll. Dann sind alle meine Analyseanstrengungen fehlgeleitet.

  2. Ich kann Ihnen nur empfehlen, meinen Artikel und meine Leserbriefe von 1991 (noch einmal) zu lesen. Dort finden Sie Widerlegungen von allem, was Sie hier geschrieben haben, und – kurioserweise – offensichtlich von allem, was Sie hier noch schreiben werden …

  3. Thomas Sassmannshausen sagt:

    21 Jahre einen Irrtum nicht zugeben, das ist ja schon grotesk. Als angeblicher Mathematiker sollten sie doch wissen, worauf es ankommt: die Aufgabenstellung genau lesen. Und in dieser steht drin, dass der Moderator eine Tür mit einer Ziege öffnet. Nicht mehr und nicht weniger. Sie erinnern mich an Verschwörungstheoretiker, die auch die einfachsten Beweise nicht akzeptieren, dafür stets im Mittelpunkt stehen wollen. Geben sie es endlich zu: sie haben einen Denkfehler begangen.

  4. Anonymous sagt:

    Auch mich hat dieses Problem nun schon einige Jahre beschäftigt und auch ich war bisher immer Vertreter der 50-50 Hypothese, allerdings haben die Kommentare von Frau Vos Savant (http://marilynvossavant.com/game-show-problem/), vor allem aber das sehr anschauliche Beispiel, mich vom Gegenteil überzeugt. Es ist tatsächlich völlig egal, welche Intuitionen der Showmaster hat („gut“ oder „böse“) und es ist ebenfalls völlig egal (wenn allerdings letztlich auch „irgendwie“ richtig), dass in der zweiten Entscheidungsstufe eine theoretische Gewinnchance von 50 % bestünde, wäre die Entscheidung unabhängig von der ersten Stufe bzw. der Anzahl der Gesamtmöglichkeiten („Suppose we pause at that point, and a UFO settles down onto the stage. A little green woman emerges, and the host asks her to point to one of the two unopened doors. The chances that she’ll randomly choose the one with the prize are 1/2, all right.“).
    Tatsache ist allerdings, dass es in diesem Setup, bezogen auf alle möglichen Optionen (Erste Entscheidung mit anschließendem, bewusstem Öffnen eines der Ziegen-Tore (!). Auch wenn dies in der originalen Aufgabenstellung nicht explizit erwähnt wird, so wird es doch für das Problem implizit vorausgesetzt – würde das Auto-Tor geöffnet wäre eine weitere Entscheidung überflüssig.) durch die Wahl des ersten Tores bei einem Wechsel zwei Optionen zum Treffen des Autos bestehen und bei Nicht-Wechsel natürlich nur eine!
    Selbst wenn hier die mathematischen oder wahrscheinlichkeitsmathematischen Kenntnisse des Lesers oder interessierten Rätsellösers zum Verständnis der Lösung nicht ausreichen, so kann das Ergebnis jedoch leicht durch einfaches Abzählen der Treffer bzw. Verluste, im Beispiel auf Frau Vos Savants Seite, verstanden werden.
    In diesem Sinne, vielen Dank für die erneute Diskussion zu diesem Thema!

    • @Anonymous:

      Als das „Ziegenproblem“ im Jahr 1991 von Gero von Randow in der ZEIT behandelt worden war, habe ich ja Marilyn vos Savant in einem Leserbrief sofort recht gegeben, u.a. mit der Erweiterung auf 100 Türen; mit derselben Begründung also, die sie selbst in ihrer ersten Antwort nach der Leseranfrage gegeben hatte. Auch war sie wie ich der Auffassung, wie sie in ihrem Buch „The Power of Logical Thinking“ schreibt (S. 15), dass in der Aufgabenstellung nicht genug hervorgehoben wird, dass der Moderator „immer eine Tür mit einer Ziege“ öffnet. Die klarste Formulierung der Aufgabe lautet meiner Ansicht nach an der entsprechenden Stelle (s.o.): „Sie müssen nun zwei Türen bestimmen, von denen der Showmaster eine Ziegentür öffnen muss.“ Alle Formulierungen, die nicht mit dieser gleichbedeutend sind, führen nicht zu einer 2/3-Lösung. Auch in meinem zweiten Leserbrief habe ich für die Bedeutung der Spielregel u.a. eine Begründung gegeben, die, wie ich über zehn Jahre später im Internet gelesen habe, zuvor auch schon von Martin Gardner in der New York Times gebracht worden war: Wenn nämlich der Moderator eine nichtgewählte Ziegentür nur dann öffnet, wenn der Kandidat mit seiner ersten Wahl richtig lag, verliert der Kandidat bei einem Wechsel hundertprozentig. Leider ist die falsche Problemformulierung um die Welt gegangen, so dass jetzt die Meinung weit verbreitet ist, schon aus der bloßen Tatsache, dass der Moderator nach der ersten „Wahl“ des Kandidaten eine nichtgewählte Ziegentür öffnet, folge die 2/3-Lösung – ein wahres Paradoxon. Und die Begründungen, die für die 2/3-Lösung gegeben werden, sind entsprechend verworren.

  5. Peter Addor sagt:

    Man möge die Situation mit einer Monte-Carlo-Simulation in Excel nachspielen, dann wird sich schnell zeigen, wer recht hat. Und wer nicht recht hat, wird dann auf ewig schweigen müssen. Allerdings befürchte ich, dass Gerhard Keller über eine ganz andere Aufgabe spricht als Timm Grams, wie er in seinem letzten Post durchblicken lässt.

    • @Peter Addor:

      Was durch „Nachspielen“ geklärt werden soll, kann ich nicht erkennen.

      Ich habe in meinem letzten Post inhaltlich nichts Anderes geschrieben als in meinem Artikel und meinen bisherigen Posts.

      Hier noch ein Zitat Monty Halls aus meinem Artikel (also auch nichts Neues): „‚If the host is required to open a door all the time and offer you a switch, then you should take the switch,‘ he said. ‚But if he has the choice whether to allow a switch or not, beware. Caveat emptor. It all depends on his mood.'“

  6. Timm Grams sagt:

    Monty Hall sagt eigentlich nur, dass das Rätsel ohne die naheliegende Annahme, dass Willkür des Showmasters ausgeschlossen ist, keinen Sinn ergibt. Damit stützt er die 2/3-Lösung der Marilyn vos Savant. Ich staune darüber, dass man dieses Zitat auch als Beleg für die Halbe-halbe-Lösung vestehen kann.

  7. Herr Grams hat den ganzen Thread hier eröffnet, um mich als einen Vertreter der „Halbe-Halbe“-Fraktion darzustellen, der immer noch nicht aufgibt.
    Das ist bei mir (ebenso wie bei Marc Steinbach) völlig absurd, da ich im Jahr 1991, als das Problem zum ersten Mal von Gero von Randow in der ZEIT veröffentlicht wurde, sofort zu denen gehörte, die Marilyn vos Savant mit der 2/3-Lösung recht gaben. Meine Erweiterung auf 100 Türen, die genau der ersten Begründung von Marilyn vos Savant entspricht, wurde oft zitiert und auch von Gero von Randow in einem zweiten ZEIT-Artikel und später in seinem Buch gebracht. Ich hatte in diese Variante den dezenten Hinweis eingebaut: „Der Moderator muss nun laut Spielregel …“. Da, wie natürlich jedermann erkennen konnte, diese Spielregel in der Aufgabenstellung gar nicht formuliert war, habe ich ebenso dezent einen zweiten Leserbrief hinterhergeschickt, in dem ich explizit, wieder mit mehreren Beispielen, begründete, dass die Zwei-Drittel-Lösung ohne diese Regel falsch ist.
    Das heißt, dass mein Verständnis des Problems von Anfang an glasklar war und nie korrigiert werden musste. Wie sie in ihrem Buch schreibt, hatte vos Savant übrigens auch „sehr wenige“ Leserbriefe bekommen, in denen ähnliche Gedanken geäußert worden waren wie in meinen; aber diese Briefe wurden nicht veröffentlicht.
    Ich habe hier schon auf den Artikel in der Sonntagsausgabe der New York Times verwiesen und einige Äußerungen daraus von Martin Gardner, Monty Hall und Marilyn vos Savant zitiert, die ganz genau in dieselbe Richtung gehen wie meine Argumente. Hier noch ein Zitat des Statistikprofessors Persi Diaconis aus diesem Artikel: „‚The strict argument, ‚ Dr. Diaconis said, ‚would be that the question cannot be answered without knowing the motivation of the host.'“ Es ist schon eine kühne Interpretation von Herrn Grams, wenn er solche Aussagen als Bestätigung der Zwei-Drittel-Lösung der ursprünglichen Aufgabe betrachtet. Aber dabei noch mich als plumpen unbelehrbaren Vertreter einer „Halbe-Halbe-Lösung“ darzustellen, kann ich nur als Test betrachten, wieviel Schwachsinn ich akzeptiere.
    Also: Bitte keine Posts mehr von Leuten, die glauben, auf Grund der Irreführung von Herrn Grams in mir ein Opfer der Halbe-Halbe-Fraktion am Wickel zu haben und mir nachweisen zu müssen, dass die Lösung doch 2/3 beträgt. Der Schwerpunkt meiner Beiträge liegt darauf, dass sich aus der formulierten Aufgabe keine 2/3-Lösung ableiten lässt, sondern dass sie einer entscheidenden Ergänzung bedarf. Wie wir in zahlreichen Beiträgen im Internet sehen können, sind die „impliziten Annahmen“, die diese Ergänzung ersetzen sollen, keineswegs so selbstverständlich wie von Herrn Grams dargestellt. Und es bleibt die Frage, wieso man diese „impliziten Annahmen“ den Gesprächspartnern, die man überzeugen will, vorenthält.
    Die „Halbe-Halbe-Lösung“ für die ursprüngliche Aufgabe ist eher ein Nebenprodukt meiner Überlegungen. „Without knowing the motivation of the host“ bleibt sie die einzig vernünftige Antwort.
    Ja; dumm gelaufen für die meisten Publizisten, auch für Herrn Grams.

  8. Timm Grams sagt:

    Herr Keller trifft mit dem vorletzten Absatz den Kern der Sache. Er schreibt: „Die ‚Halbe-Halbe-Lösung‘ für die ursprüngliche Aufgabe ist eher ein Nebenprodukt meiner Überlegungen. ‚Without knowing the motivation of the host‘ bleibt sie die einzig vernünftige Antwort.“ Genau diese Folgerung ist falsch, wie ich offensichtlich ziemlich erfolglos zu zeigen versucht habe. Es gibt nämlich bei unterstellter Showmaster-Willkür überhaupt keine „vernünftige Antwort“ auf die Frage, ob der Wechsel von Vorteil ist.

    • Welche der beiden verbleibenden Türen würden Sie also wählen, wenn es keine „vernünftige Antwort“ gibt? – Auch wenn Sie das Ziegenproblem in die Sphäre der Denksportaufgaben verlagern, in denen es nach Ihrer Auffassung im Gegensatz zur Realität keine „Showmaster-Willkür“ gibt, sondern nur solche Moderatoren, die mit ihrer Strategie eine Zwei-Drittel-Lösung herbeiführen, können Sie vielleicht anderen einen Tipp geben …

  9. Timm Grams sagt:

    Also, angenommen, ein Freund ist als Gast einer solchen Show eingeladen. Ihm würde ich in etwa Folgendes raten: „Informiere dich gründlich über die Show und den Gastgeber. Dann nutze für die Entscheidung, ob du wechseln sollst oder nicht, dein Situationsbewusstsein, deine Menschenkenntnis und dein Bauchgefühl – in dieser Reihenfolge. Kannst du dich dann immer noch nicht entscheiden und willst du dich von der Schuld einer eventuell falschen Wahl entlasten, dann wirf halt in Gottes Namen eine Münze.“ Hier noch ein kleiner Gag. Und dann gibt es noch diesen kuriosen Wikipedia-Artikel (am 11.06.2012 kopiert und von mir kommentiert).

  10. Statistiker sagt:

    Das erste, was man in einem juristischen Studium lernt ist, nichts in einen Sachverhalt hineinzuinterpretieren, was nicht ausdrücklich genannt ist. Genau dieses Reininterpretieren macht Herr Keller also seit über 20 Jahren… Da kann ja nur ein Irrtum herauskommen…

    • Jan Uliczka sagt:

      Was macht Sie so wütend, dass Sie hier Herrn Keller als „angeblichen Mathematiker“ verunglimpfen und ihn in die Nähe von Verschwörungstheoretikern rücken?

      Sind Sie so erbost, weil Herrn Kellers Einwand Sie darauf aufmerksam gemacht hat, dass Sie das Ziegenproblem gar nicht wirklich verstanden haben?

      Herr Keller besteht seit über 20 Jahren darauf, dass eine für die Lösung entscheidende Voraussetzung in der Aufgabenstellung ausdrücklich genannt wird – und eben nicht „hineininterpretiert“ werden muss.

      Wie kommen Sie also zu Ihrem absurden Vorwurf?

    • Timm Grams sagt:

      (Ihr Kommentar ist falsch platziert. Er sollte wohl dem Kommentar von Thomas Sassmannshausen vom 4. Juli 2012 gelten.)
      Was Thomas Sassmannshausen dazu bewogen hat, zu einem Ad-hominem-Argument zu greifen, weiß ich nicht. Ich jedenfalls versuche, meine Schlüsse ausschließlich aus dem Gesagten zu ziehen. Ansonsten bleibe ich bei meiner Einschätzung, dass durch Gerhard Keller und andere eine sehr schöne Denksportaufgabe so lange zerredet wird, bis sie einem öde erscheint. Marilyn vos Savant hat vor nunmehr 28 Jahren eigentlich schon alles gesagt, was es dazu zu sagen gibt.

  11. das ich sagt:

    der grund, warum die meisten menschen auf die fifty-fifty lösung tippen (ich auch) ist nicht schwer zu finden, wenn man über die situation nachdenkt: sie denken fälschlicherweise, sie bzw. der kandidat würde mit der antwort auf die frage, ob er bei seiner entscheidung bleibt oder wechselt, (komplett) neu wählen. dies ist aber nicht der fall, auch wenn sich mir als menschen, der solche frage gestellt bekäme, natürlich anderes aufdrängt in dem moment: ich fühle mich gefragt, also entscheide ich (neu).

    wenn man das ziegenproblem modifiziert, wird der umstand, dass der kandidat – in dessen rolle man ja schlüpft – sich in einer situation befindet, die anders ist, als er denkt: drei kugeln, eine weisse und zwei schwarze schwarze in einem hut. der kandidat zieht eine kugel, ohne ihre farbe zu sehen. der moderator geht zum hut und nimmt sichtbar eine schwarze kugel aus dem hut. danach fragt er den kandidaten, ob er wechselt oder bei seiner kugel bleibt. die fifty-fifty anhänger denken nun, sie würden neu wählen – das wäre aber nur der fall, wenn die kugel des kandidaten erneut in den hut gelegt werden würde – und er dann neu zieht. dann wären es nämlich tatsächlich 50%:50%. man wähnt sich fälschlicherweise in dieser situation, weil man gefragt würde. tatsächlich aber gibt es keine neue wahl: man behält seine 1/3 wahrscheinlichkeit in der hand oder nimmt eben die 2/3, die im hut sind (ehedem zwei kugeln, jetzt nur noch eine).

  12. Timm Grams sagt:

    Zum Ziegenproblem ist nun – soweit ich sehen kann – alles gesagt. Ich würde den Diskussionsfaden hier gerne beenden, wenigsten solange kein wirklich neuer Gedanke auftaucht. Aus meiner Sicht ist es fruchbarer, über Gigerenzers „Bauchentscheidungen“ zu debattieren. In seinem neuesten Buch „Risiko“ geht Gerd Gigerenzer übrigens auch auf das Ziegenproblem ein. Debattierfreudige verweise ich deshalb auf meinen Artikel Kopf oder Bauch.

  13. Werner Wierich sagt:

    Zur Abkühlung der Gemüter und zur Ertüchtigung des Verstandes empfehle ich dringend die mathematisch fundierte Abhandlung des Themas von Marc C. Steinbach („Autos, Ziegen und Streithähne“) in: Mathematische Semesterberichte (2000), Band 47, Seiten 107-117.

    • Timm Grams sagt:

      Der Diskussionsfaden sollte eigentlich nur fortgeführt werden, wenn wirklich neue Gedanken auftauchen. Die Arbeit von Marc Steinbach wurde bereits im Hauptartikel behandelt – meines Erachtens abschließend. Dennoch will ich noch einmal darauf eingehen. Anstelle des Originalproblems formuliert Steinbach einen Stellvertreter, von ihm „abgewandeltes Problem“ genannt. Das Problem wird sozusagen der falschen Fifty-fifty-Lösung angepasst. Gelöst wird nicht das Originalproblem, sondern der Stellvertreter. Hier betreibt Steinbach das, was ich heute als Pseudomathematik bezeichne. Dann bringt er eine Lösung, die mit dem Originalproblem nichts mehr zu tun hat: Er bringt den Münzwurf ins Spiel, der jedoch keine Antwort auf die Frage liefern kann, ob der Wechsel sich lohnt. Das ist ein weiteres Beispiel für Pseudomathematik: Der Problemlöser hat die ursprüngliche Frage aus den Augen verloren und bietet die Antwort auf eine Frage an, die er sich erst zurechtgelegt hat. Ich bitte darum, die Diskussion nicht hier, sondern im Anschluss an den Artikel Pseudomathematik fortzuführen. Die Ziege ist inzwischen leblos.

  14. Mathenull sagt:

    Mein angegebener Name charakterisiert mich trefflich. So erlaube ich mir, die Frage, ob die mir leicht erscheinende Lösung/Erklärung, die einen Streit abwegig erscheinen lässt, an einem Denkfehler leidet: Da in zwei von drei Fällen der Preis sich unter den nicht gewählten Toren befindet, der Showmaster aber stets das Ziegentor dieser beiden Tore öffnet, steht fest, dass auch in zwei von drei Fällen sich der Preis in dem verbleibenden nicht gewählten Tor befinden muss und deshalb der Wechsel auch in zwei von drei Fällen zum Gewinn führt, was sich förmlich aufdrängt. Bei der 50/50 Wahrscheinlichkeit bliebe es nur, wenn der Showmaster nicht wüsste, wo der Gewinn ist, was aber nicht der Fall ist.

    • Timm Grams sagt:

      Eigentlich sollte der Diskussionsfaden beendet sein. Ich habe beim Kommentar der „Mathenull“ eine Ausnahme gemacht und ihn doch aufgenommen, einfach weil er auf nette und knappe Art ausdrückt, was auch ich für naheliegend halte.

  15. Amen sagt:

    Eine psychologische Studie wäre interessant, ob die Anhänger der fifty-fifty-Hypothese von der
    „Variante mit vergesslichem Showmaster“ ausgehen, die Anhänger der 2/3-Hypothese von der des „wissenden Showmasters“.

    Ich würde mal die These in den Raum stellen, das genau dort die Grenzlinie zwischen den beiden Gruppen verläuft – in der Interpretation des Rätsels.

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